На практике знаменатель нужно вычислить один раз и сохранить в виде константы.
5.25. Вычисление среднего, медианы и моды набора данных
Пусть дан массив x, вычислим среднее значение по всем элементам массива. На самом деле есть три общеупотребительные разновидности среднего значения. Среднее арифметическое — это то, что мы называем средним в обыденной жизни. Среднее гармоническое — это число элементов, поделенное на сумму обратных к ним. И, наконец, среднее геометрическое — это корень n-ой степени из произведения n значений. Вот эти определения, воплощенные в коде:
def mean(x)
sum=0
x.each {|v| sum += v}
sum/x.size
end
def hmean(x)
sum=0
x.each {|v| sum += (1.0/v)}
x.size/sum
end
def gmean(x)
prod=1.0
x.each {|v| prod *= v}
prod**(1.0/x.size)
end
data = [1.1, 2.3, 3.3, 1.2, 4.5, 2.1, 6.6]
am = mean(data) # 3.014285714
hm = hmean(data) # 2.101997946
gm = gmean(data) # 2.508411474
Медианой
набора данных называется значение, которое оказывается приблизительно в середине отсортированного набора (ниже приведен код для вычисления медианы). Примерно половина элементов набора меньше медианы, а другая половина — больше. Ясно, что такая статистика показательна не для всякого набора.
def median(x)
sorted = x.sort
mid = x.size/2
sorted[mid]
end
data = [7,7,7,4,4,5,4,5,7,2,2,3,3,7,3,4]
puts median(data) # 4
Мода набора данных — это наиболее часто встречающееся в нем значение. Если такое значение единственно, набор называется унимодальным, в противном случае — мультимодальным. Мультимодальные наборы более сложны, здесь мы их рассматривать не будем. Интересующийся читатель может обобщить и улучшить приведенный ниже код:
def mode(x)
f = {} # Таблица частот.
fmax = 0 # Максимальная частота.
m = nil # Мода.
x.each do |v|
f[v] ||= 0
f[v] += 1
fmax,m = f[v], v if f[v] > fmax
end
return m
end
data = [7,7,7,4,4,5,4,5,7,2,2,3,3,7,3,4]
puts mode(data) # 7
5.26.
Дисперсия и стандартное отклонение
Дисперсия — это мера «разброса» значений из набора. (Здесь мы не различаем смещенные и несмещенные оценки.) Стандартное отклонение, которое обычно обозначается буквой , равно квадратному корню из дисперсии.
Data = [2, 3, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 4, 1, 2]
def variance(x)
m = mean(x)
sum = 0.0
x.each {|v| sum += (v-m)**2 }
sum/x.size
end
def sigma(x)
Math.sqrt(variance(x))
end
puts variance(data) # 1.461538462
puts sigma(data) # 1.20894105
Отметим, что функция
variance
вызывает определенную выше функцию
mean
.
5.27. Вычисление коэффициента корреляции
Коэффициент корреляции — одна из самых простых и полезных статистических мер. Он измеряет «линейность» набора, состоящего из пар (x, у), и изменяется от -1.0 (полная отрицательная корреляция) до +1.0 (полная положительная корреляция).
Для вычисления воспользуемся функциями
mean
и
sigma
(стандартное отклонение), которые были определены в разделах 5.25 и 5.26. О смысле этого показателя можно прочитать в любом учебнике по математической статистике.
В следующем коде предполагается, что есть два массива чисел одинакового размера:
def correlate(x,y)
sum = 0.0
x.each_index do |i|
sum += x[i]*y[i]
end
xymean = sum/x.size.to_f
xmean = mean(x)
ymean = mean(y)
sx = sigma(x)
sy = sigma(y)
(xymean-(xmean*ymean))/(sx*sy)
end
a = [3, 6, 9, 12, 15, 18, 21]
b = [1.1, 2.1, 3.4, 4.8, 5.6]
с = [1.9, 1.0, 3.9, 3.1, 6.9]
c1 = correlate(a,a) # 1.0
c2 = correlate(a,a.reverse) # -1.0
c3 = correlate(b,c) # 0.8221970228
Приведенная ниже версия отличается лишь тем, что работает с одним массивом, каждый элемент которого — массив, содержащий пару (x, у):