Закат Европы
Шрифт:
И здесь также сущность дела затуманена античными названиями, которые мы удержали из литературного наследия греков. Геометрией называется искусство измерения, арифметикой – искусство счета. Математике Запада нечего больше делать с этими обоими видами ограничения, но она не придумала себе нового названия. Слово «анализ» выражает далеко не все.
Свои исследования античный математик и начинает и кончает единичным телом и ограничивающей его поверхностью. Мы знаем, в сущности, только абстрактный пространственный элемент точки; лишенный наглядности, возможности измерения и наименования, он представляет собою, собственно, только центр отношения. Прямая для грека есть измеримая граница, для нас – неограниченный точечный континуум. Лейбниц приводит в качестве примера для принципа бесконечно малых прямую, которую можно рассматривать как предельный случай круга с бесконечно большим радиусом; точка же оказывается опять-таки предельным случаем. Для духа античного человека квадратура круга была классической предельной проблемой. Вот что казалось греческому духу самой глубокой тайной мировой формы: превратить криволинейно ограниченные плоскости в прямоугольные и, не меняя их величины, сделать их таким образом измеримыми. Для нас стало очень простым делом – изобразить число л алгебраическими средствами, не поднимая при этом и речи о геометрических образах.
Античный математик знает только то, что он видит я осязает. Где кончается ограниченная,
Феномен античного, целого, телесного числа невольно поэтому ищет отношения к телесному началу человека, к «sфma». Единица едва ли принималась как настоящее число. Она – «архе», изначальная основа числового ряда, изначало всех чисел и, следовательно, всех величин, всех мер, всякой вещественности. Ее числовой знак в кругу пифагорейцев всегда был символом материнского лона, изначала всей жизни. Двойка, первое настоящее число, которое удваивает единицу, была связана с принципом мужского начала, и ее знаком стало изображение фаллоса. Наконец, священная троица символизировала акт соединения мужчины и женщины, зачатия – и вполне понятен эротический смысл двух особенно важных для античности процессов – роста величины и порождения величины, сложения и умножения; знаком тройки было соединение двух первых чисел. Отсюда проливается новый свет на упомянутый выше миф о дерзости раскрытия иррационального. Иррациональное, выражаемое нами применением бесконечных десятичных дробей, есть разрушение органически-телесного, созидательного порядка, который был установлен богами. Нет сомнения, что пифагорейская реформа античной религии восстановила древний культ Деметры. Деметра родственна Гее, матери-земле. Есть глубокая зависимость между ее почитанием и этим возвышенным пониманием числа.
Так античный мир с внутренней необходимостью стал постепенно культурой малого. Аполлоновская душа стремилась заклясть смысл завершенного посредством принципа обозримой границы; ее «табу» направлено на непосредственную наличность и близость чуждого. Что давно прошло, что невидимо, того и нет. Грек, как и римлянин, приносил жертвы богам той страны, где ему случалось быть, – все другие исчезали из его кругозора. Как греческий язык не имеет названия для пространства – мы будем постоянно подчеркивать мощную символику таких явлений языка, – так нет у грека нашего чувства ландшафта, чувства горизонта, далей, облаков, а также понятия отечества, широко раскинувшегося и охватывающего великую нацию. Отчизна для античного человека – это то, что он мог окинуть взором со стен родного города, не больше. Что лежало по ту сторону видимой границы такого политического атома, было чуждо, даже враждебно. Здесь начинается уже страх античного существования, и это объясняет чудовищную ожесточенность, с какой эти крошечные города уничтожали друг друга. Полис – это самое маленькое из всех мыслимых государств, и его политика, ясно выраженная политика «близкого», – полная противоположность нашей дипломатии кабинетов, политике безграничного. Античный храм, если охватить его единым взором, – самое маленькое из всех классических строений. Геометрия от Архита до Эвклида – как это делает под их влиянием школьная геометрия еще и теперь – занимается маленькими, удобными для обращения фигурами и телами, и для нее, таким образом, были скрыты трудности, которые всплывают при оперировании астрономическими расстояниями, не всегда допускающими пользование Эвклидовой геометрией. Но вместе с тем тонкий античный дух как будто тогда уже предугадывал проблему неэвклидовых геометрий: возражения против известной аксиомы о параллельных, содержание которой с давних пор не удовлетворяло геометров, близко наталкивали на возможное решение вопроса. Наложения элементарного счисления, например 2 x 2 = 4, казалось само собою разумеющимся, – настолько же нам само собою разумеющимся кажется оперирование бесконечным, выходящим за пределы наглядности. Все математические взгляды, которые Западная Европа отвергала или принимала, с глубокой необходимостью подчинялись языку форм счисления бесконечно малых задолго до того, как было открыто само дифференциальное счисление. Арабская алгебра, индийская тригонометрия, античная механика были сразу включены в анализ. Положения элементарного счисления, например 2 x 2 = 4, – казалось бы, самые «очевидные» – с аналитической точки зрения оказываются проблемами, решение которых при помощи выводов из теории множеств в отдельных своих частях вообще еще не удалось; Платону и его времени все это показалось бы явным сумасбродством и служило бы доказательством полного отсутствия математической одаренности.
Можно, конечно, трактовать геометрию алгебраически или алгебру геометрически; это значит или устранить то, что дается глазу, или дать ему господствовать. Первое делаем мы, второе – греки. Архимед, который в своем прекрасном исследовании спирали затрагивает известные общие факты, лежащие в основе также и метода определенного интеграла у Лейбница, сейчас же подчиняет стереометрическому принципу свой на первый взгляд вполне модернистический метод. Индиец, само собою разумеется, дал бы в этом случае тригонометрическую формулировку. (Теперь нельзя уже установить, что именно в известной нам индийской математике возникло в древнеиндийский период, то есть до Будды.)
Из основного противоположения античного и западноевропейского числа вытекает столь же глубоко идущее противоположение того отношения, в котором стоят друг к другу элементы каждого из этих комплексов. Соотношение величин называется пропорцией, соотношение же отношений определяет сущность функции. Оба слова, выходя за пределы математики, имеют очень большое значение для техники соответствующих искусств – пластики и музыки. Если совершенно отвлечься от того смысла, который имеет слово «пропорция» для соразмерности частей отдельной статуи, то только типичные античные произведения искусства – статуи, рельефы, фрески – допускают увеличение и уменьшение масштаба – слова, которые для музыки, искусства безграничного, не имеют никакого смысла. Вспомните об искусстве гемм, задача которого сводилась к простому уменьшению статуй натуральной
Всякая пропорция предполагает постоянство, всякая трансформация – изменчивость элементов: здесь следует сравнить положения конгруэнтности у Эвклида, доказательства которых фактически покоятся на наличном отношении 1:1, с современным выведением при помощи угловых (тригонометрических) функций.
Конструкция – которая в широком смысле включает все методы элементарной арифметики – есть альфа и омега античной математики: она состоит в создании единичного, стоящего перед нашими глазами объекта. Циркуль – вот резец этого второго изобразительного искусства. Способ работы при исследованиях в области теории функций, цель которого не результат в виде определенной величины, а рассмотрение всех формальных возможностей, может быть характеризован как род теории композиции, близко напоминающий музыкальную. Целый ряд понятий теории музыки мог бы быть непосредственно применен к аналитическим операциям физики – «тональность», «фразировка», «хроматика» и пр., – и очень возможно, что некоторые зависимости выиграли бы при этом в ясности.
Всякая конструкция утверждает наглядную очевидность, всякая операция ее исключает, причем одна создает оптически данное, другая его разлагает. Так появляется дальнейшее противоположение обоих видов математической деятельности: античная математика «малого» рассматривает конкретный, единичный случай, вычисляет определенное задание, единичную конструкцию. Математика бесконечного занимается целыми классами формальных возможностей, группами функций, операций, уравнений, кривых, имея в виду не какой-нибудь результат (в арифметическом смысле), а свой собственный ход исследования. Два столетия тому назад – и современными математиками это едва сознается – возникла идея всеобщей морфологии математических операций, которая раскрывает действительный смысл всей новой математики. Здесь обнаруживается всеобъемлющая тенденция западноевропейского духа вообще, которая в дальнейшем будет становиться все яснее, тенденция, которая оказывается исключительно достоянием фаустовского духа и его культуры и ни в какой другой не находит ничего родственного. Огромное большинство вопросов, которыми занимается наша математика как наиболее ей близкими (у древних этому отвечает квадратура круга), например исследование признаков сходимости бесконечных рядов (Коши) или обращение эллиптического, или общеалгебраического, интеграла в периодические функции (Абель, Гaycc), показалось бы, вероятно, «древним», которые искали в качестве результата обыкновенные определенные величины, какой-то остроумной, несколько запутанной игрой, как это кажется и в наше время распространенному мнению широких кругов. Нет ничего менее популярного, как современная математика, и в этом также есть доля символики бесконечной дали, дистанции. Все великие творения Запада, от Данте до «Парсифаля», – непопулярны; все античные, от Гомера до Пергамского алтаря, – популярны в высшей степени.
Итак, все содержание западноевропейского мышления числа сосредоточивается в классической проблеме, дающей ключ к тому труднодоступному понятию бесконечного – фаустовского бесконечного, – которое очень далеко от бесконечного арабского и индийского миросозерцания. Дело идет о теории пределов, как бы более узко ни рассматривать число в отдельном случае, как бесконечный ряд, кривую или функцию. Этот предел есть самая резкая противоположность античного предела, до сих пор так не называвшегося, который представляет собою неизменно ограниченную плоскость измеримой величины. Вплоть до XVIII столетия популярные эвклидовские предрассудки затемняли смысл принципа дифференциала. Как бы осторожно ни применять здесь почти напрашивающееся понятие бесконечно малого, ему все же будет присущ легкий оттенок античной неизменности, подобие величины; такое понятие мог бы признать Эвклид, хотя он и не знал его совершенно. Нуль есть константа, целое число в линейном континууме между +1 и – 1; аналитическим исследованиям Эйлера сильно повредило, что он – как и многие вслед за ним – принимал дифференциал за нуль. Только выясненное окончательно Коши понятие предела устраняет этот остаток античного чувства числа и делает учение о бесконечно малых свободной от противоречия системой. Только переход от «бесконечно малой величины» к «нижнему пределу всякой возможной конечной величины» ведет к концепции такого переменного числа, которое всегда остается меньше всякой отличной от нуля конечной величины и таким образом не имеет больше ни малейшей черты величины. В этом окончательном понимании предел вообще уже не есть то, к чему приближаются. Он сам представляет собою приближение – процесс, операцию. Он не состояние, а действие. Здесь, в проблеме, имеющей решающее значение для западноевропейской математики, внезапно раскрывается, что наша душевность организована исторично6.
Освободить геометрию от наглядности, алгебру от понятия величины и обе объединить, по ту сторону элементарных рамок конструкции и счета, в могучее сооружение теории функций – таков был великий путь западноевропейского мышления числа. Так античное постоянное число было превращено в переменное. Геометрия, ставшая аналитической, растворила все конкретные формы. Она заменяет математическое тело, неизменная картина которого создавала геометрические понятия, абстрактно пространственными отношениями, более уже неприложимыми к чувственно данной наглядности. Оптические образования Эвклидовой геометрии она заменяет геометрическими местами, относящимися к координатной системе, начало которой может быть произвольно выбрано, и сводит предметное существование геометрического объекта к требованию, что во время операции, имеющей дело уже не с измерениями, а с уравнениями, выбранная система координат не должна изменяться. Но и координаты рассматриваются далее уже только как чистые значения, которые не столько определяют положения точек – абстрактных элементов пространства, сколько их представляют и заменяют. Число, граница ставшего, символически изображается уже не картиной фигуры, а картиной уравнения. «Геометрия» меняет свой смысл. Координатная система как картина исчезает, и точка становится совершенно абстрактной числовой группой. Переход архитектуры Возрождения посредством новшеств Микеланджело и Виньолы в архитектуру барокко – вот точная копия этого внутреннего превращения анализа. На фасадах дворцов и церквей чувственно чистые линии перестают быть действительными. На месте ясных координат флорентийско-римского расположения колонн и деления на этажи всплывают элементы счисления «бесконечно малых», разливающиеся потоком части зданий, волют, картушей. Конструкция исчезает под изобилием декоративного – математически выражаясь – функционального. Колонны и пилястры, соединенные в группы и пучки, тянутся через весь фасад, не давая покоя глазу, собираются и рассеиваются. Плоскости стен, крыш, этажей растворяются в лепных украшениях и орнаментах, исчезают и распадаются под цветным освещением. Свет, который играет переливами в этом мире форм зрелого барокко – от Бернини около 1650 года до рококо в Дрездене, Вене, Париже, – стал чисто музыкальным элементом. Дрезденский Цвингер – это симфония. Вместе с математикой и архитектура в XVIII столетии развилась в мир форммузыкального характера.