ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Бобров Сергей Павлович

– 342 -

– Парабола!
– ответил Илюша.

– Правильно! А наша кривая скоростей - это что, по-твоему?

– Это кривая нечетных чисел, то есть прямая.

– Верно!

– Я уже знаю, - продолжал Илюша, - что если складывать нечетные числа одно за другим, то получатся квадраты.

– Это правило было известно еще в древнем Вавилоне.

Опираясь на него, Галилей и открыл, что падающие тела движутся по параболе.

– А если интегрировать линейную функцию, которая дает прямую, то получишь на чертеже параболу, - добавил Илюша.

– Вот и еще одно свойство

параболы.

– И обратно, если искать производную от правой части уравнения, то получишь функцию, изображаемую на графике прямой линией. А что получится, если интегрировать уравнение параболы?

– Параболу третьего порядка, кубическую, и так далее.

Но мы не будем останавливаться на этом, а поговорим об открытии Ньютона. Причем принцип, о котором мы говорим, был известен еще учителю Ньютона, замечательному английскому математику Барроу, однако значение этого принципа не было еще тогда ясно. Это было одно из самых удивительных открытий в математике. Но, мало этого, в дальнейшем выяснились еще более поразительные вещи. Оказалось, что в большинстве случаев закон изменения для бесконечно малых частиц кривой вообще гораздо проще, чем для конечных изменений! Кривая скоростей, как мы только что видели, проще кривой пройденного пути. В физике мы, изучая плотность неоднородного тела, из тех же соображений можем принимать, что в некотором неограниченном уменьшающемся кубике плотность эта остается постоянной. То же самое возможно при изучении распределения тепловой или электрической энергии, количества истекшей из сосуда жидкости и так далее.

– 343 -

Если, например, надо вычислить длину дуги кривой, то рассматривают бесконечно малые отрезки дуги. А для бесконечно малых отрезков дуги можно считать, что на таком ничтожно малом отрезке кривая идет по прямой. А если так, то на бесконечно малом отрезке кривой строим прямоугольный треугольник, катетами которого будут бесконечно малые приращения икса и игрека, а гипотенузой - крохотный отрезок прямой, которым в бесконечно малом заменяют отрезочек дуги. Но гипотенузу прямоугольного треугольника можно получить по теореме Пифагора, а дальше надо только сложить все эти бесконечно малые гипотенузочки, и получится в пределе точная длина кривой. Опыт показывает, что это путь правильный!

Так как с первого взгляда все-таки довольно трудно понять, как это возможно, заменяя маленькую дугу отрезком прямой, прийти к правильным результатам, я приведу тебе одно очень полезное рассуждение Ньютона, которое называют микроскопом Ньютона. Допустим, что когда мы начертим все это, то катет АС равен двадцати пяти сантиметрам.

Теперь я уменьшаю величину АС в миллион раз.

Уменьшение это касается только самого треугольничка, то есть его катетов и гипотенузы, а дуга как была, так и остается.

При вычислении длины кривой дуга ADB заменяется прямой АВ, которую легко определить:

AB = √[(AC)² + (BC)²]

Если уменьшать катеты треугольника ABC и считать их бесконечно малыми, то можно вычислить длину кривой, которая будет равна пределу суммы таких бесконечно малых гипотенуз.

Очевидно, что при этом точка В будет просто скользить по измеряемой дуге. Итак, я уменьшил треугольник. А теперь я опять его увеличиваю на этот раз вместе с участком дуги снова в миллион раз, и он снова равен двадцати пяти сантиметрам. Но зато сама дуга, а ведь она-то нас больше всего интересует, теперь уже гораздо больше похожа на гипотенузу. Их еле можно отличить друг от друга. И снова я уменьшаю полученный треугольник, но на этот раз в миллион миллионов раз, а затем опять увеличиваю так, чтобы катет АС был равен двадцати пяти сантиметрам.

Теперь уже ясно видно, что дуга и гипотенуза слились воедино и отличить их друг от друга невозможно. Так как ясно, что этот процесс уменьшения и рассматривания в новый, еще более сильный "микроскоп" я могу повторять столько раз, сколько мне заблагорассудится, то очевидно, что мы, уменьшая размеры приращений, можем приблизиться с нашим отрезком прямой сколь угодно близко к искомой длине дуги... Теперь начинается самое значительное и самое интересное. Слушай внимательно! Если ты изучаешь некий физический закон и не можешь его из-за сложности формулировать...

– 344 -

В это время сзади Илюши раздалось робкое, однако настойчивое покашливание. Мальчик обернулся и увидел маленького старичка с бородой, в темных очках. Он вежливо приподнял шляпу и сказал:

– Надеюсь, что не помешал... Очень хотел бы... Меня зовут Зазубрилкин Фиолет Чернилыч. Я хотел поделиться с вами одним моим открытием. Очень упрощает прохождение курса алгебры и геометрии... Разрешите изложить?

– Пожалуйста, - ответил Илюша.

– Открытие мое, конечно, пустяковое, - произнес Фиолет Чернилыч.
– Мне удалось показать, что сторона квадрата совершенно рационально выражается через его диагональ, и обратно.

– Как так?
– удивился Илюша.

– Я, видите ли, сам сперва удивлялся, как это выходит, по потом убедился, что так и есть. Тут дело только в том, чтобы рассудить насчет бесконечности. Конечно, это штука довольно хитрая, но. ведь все-таки длину окружности кое-как, на троечку, вычисляем, сумму уплывающей гомерической процессии тоже...

Илюша, не веря углам своим, хотел было переспросить, о какой собственно процессии идет речь. Но тут уж Фиолет Чернилыч достал из кармана мел, нарисовал квадрат, затем провел диагональ и приосанился (и в этот миг вдруг напомнил Илюше одного странного старичка, с которым он встретился в Схолии Шестой).

– Так вот-с, - начал он излагать свою теорию, - вместо того, чтобы идти от А к С по диагонали, я пойду от А к В, а от В к С. Затем от А к В₁, затем к В₂, потом к В₃, а оттуда к С. Ясно, что второй мой путь равен первому, то есть движению от А к В и затем к С. Если сторона квадрата равна единице, то этот путь равен двум. Ясно! Теперь я пойду от А к С через точки B'₁, B'₂, B'₃, B₂, B'₄, B'₅ и B'₆.

Затем я совершу этот же путь от А к С через точки новой ступенчатой кривой, ступени которой еще вдвое меньше. Каждый раз я буду удваивать число ступенек.

– 345 -

Наконец я увеличу число ступенек до бесконечности. Очевидно, что сколько бы раз я ни увеличивал число ступеней, их сумма равна двум. А с другой стороны, эта ступенчатая кривая неограниченно близко пододвигается к диагонали. В конце концов диагональ и ступенчатая кривая сольются, когда величина каждой ступеньки станет бесконечно малой. Отсюда ясно, что длина диагонали равняется двум, а вовсе не корню из двух. Вот и все! Вот я и хотел вас спросить... как же это? ..

И вдруг Фиолет Чернилыч дернул себя за свою густейшую бородищу. К удивлению Илюши, борода медленно поползла вниз, за ней усы, багровый нос, очки и шляпа.

Перед Илюшей, гордо скрестив руки на груди, стоял не кто иной, как Уникурсал Уникурсалыч. И он снова спросил:

– Ну, что ты скажешь, о многомудрый отрок? Как насчет бесконечноватых процессов, отменяющих иррациональные числа, о синус души моей? А?

Вслед за этим Командор Ордена Семи Мостов церемонно раскланялся и расплылся в воздухе. Илюша беспомощно посмотрел на Радикса.