ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Бобров Сергей Павлович

– 316 -

Допустим, что высота конуса равна 500 мм, а цилиндрики, на которые его режем, сделаны из бумаги, толщина которой примерно равна 0,05 мм, следовательно, всего в конусе их будет десять тысяч. Вряд ли такой конус, склеенный из десяти тысяч листов бумаги, можно отличить от сделанного, скажем, из гипса. А так как объемы цилиндров определить нетрудно, то таким путем мы определим и объем конуса.

– Что-то я плохо понимаю, - грустно сказал Илюша.

– Ничего! Не падай духом! Слушан хорошенько и понемногу поймешь, - подбодрил его Радикс.
– Ясно, что когда я заменяю маленький усеченный конус маленьким цилиндром, то делаю ошибку. Но эта

ошибка, вычисленная в процентном отношении к измеряемой величине (так называемая "относительная ошибка"), будет сколь угодно мала. Ведь можно взять настолько тонкие кружки, что объем, которым я пренебрегаю, составит, например, менее одной десятой, либо сотой, либо тысячной процента и так далее по отношению к объему конусика (или цилиндрика; считай как хочешь, это неважно). Но раз это так, то нетрудно сообразить, что если суммировать цилиндрики, то и искомый объем большого конуса тоже будет с той же относительной ошибкой, то есть менее одной десятой, либо сотой, либо тысячной процента и так далее по отношению к истинному объему. Следишь ли ты за развитием моего рассуждения?

– Да-да!
– ответил поспешно мальчик.
– Слежу и пока, кажется, все понимаю.

– Приятно слышать. Ну, слушай далее! Итак, если конус высотой в метр делить на кружки, толщина которых равна одному микрону, то есть тысячной доле миллиметра, то велика ли - опять-таки в процентах!
– будет разница между объемом кружка и объемом усеченного конусика, на которые делится конус, если действовать совершенно точно?

– Нет, - ответил Илюша.
– Раз каждый кружок будет толщиной в микрон, то наверно разницу-то и заметить будет невозможно.

– Справедливо, - отвечал Асимптотос.
– Но ведь у нас нет надобности резать на самом деле конус на кружки, нам достаточно только вообразить это, ибо мы это делаем только для рассуждения, а если так, то никто не мешает нам допустить, что мы будем разрезать каждый кружок в тысячную долю миллиметра толщиной еще на миллион сверхтончайших кружков.

– 317 -

Как ты тогда обнаружишь разницу между объемом кружка и элементарного усеченного конусика? А ведь в рассуждении я могу повторять мое деление на миллион еще любое число раз. Этот метод деления объема на крайне малые объемы назывался в древности "методом исчерпания", ибо такими крохотными объемами мы как бы "исчерпываем" данный объем.

– Значит, - сказал Илюша, - мы будем все делить и делить, и "высота-толщина" цилиндрика-кружка будет изменяться...

– Как и полагается переменной величине!
– сообщил многозначительно Радикс.

– Ну да, - отвечал Илюша, - конечно, если она все время меняется, то ясно, что это величина переменная. И так она изменяется, уменьшаясь и приближаясь, - я думаю, здесь можно сказать - к некоторому пределу?

– Разумеется, - отвечал Асимптотос, - так сказать не только можно, но даже и должно. Но вот вопрос: к какому именно пределу стремится эта твоя "высота-толщина"?

– Мне кажется, - осторожно произнес Илюша, - что если она будет уменьшаться все больше и больше, то естественно, что пределом ее будет нуль.

– А мы уже говорили в Схолии Двенадцатой, - заметил Радикс, - что если переменная величина имеет своим пределом нуль, то мы называем ее бесконечно малой. А это обозначает, что какое бы малое положительное число ни задать, в течение ее изменений наступит момент, начиная с которого ее абсолютная величина станет и будет оставаться меньше этого числа.

– Это я понимаю, - отвечал Илюша.
– Но ведь это еще не все. А что же делается в это время

с числом кружков-цилиндриков? .. Мне кажется, что число их в это время растет безгранично.

– Разумеется. Однако не забудь о том, что я собираюсь получить при помощи такого деления на кружки вовсе не приближенный объем конуса, а совершенно точный! Ведь мы действительно убедились с тобой, что в процентном отношении к искомому объему разница может быть сделана сколь угодно малой, если мы будем уменьшать толщину цилиндриков. Убедились мы также и в том, что если в каждом слагаемом мы сделаем ошибку меньше тысячной процента, то при вычислении всей суммы общая ошибка не может превысить того же самого процентного отношения. Не так ли? Тебе все здесь ясно?

– Как будто так, - отвечал Илюша.
– То есть этот множитель-ошибка при суммировании просто выйдет за скобку?

– 318 -

– Ну разумеется! А теперь сообрази-ка, что же получится в пределе. Разницу между истинным объемом конуса и суммой можно сделать меньше 0,001, или меньше 0,000001 процента, то есть одной миллионной, или меньше 0,0000000000000000001, то есть одной десятиквинтиллионной процента.

– Постой-ка!
– воскликнул Илюша.
– А нельзя ли изображать и десятичные дроби через отрицательные степени "десяти"?

– Разумеется, можно. 10¹ будет 10; 10^{– 1}– единица, деленная на 10, то есть 0,1, ибо,

10^{– 1} = 10ⁿ / 10ⁿ⁺¹ = 1 / 10 = 0.1

а следовательно, 10^{– 2} будет 0,01, и так далее.

– А тогда, - сказал Илюша, - эти проценты я запишу так: вместо 0,000001-10^{– 6}, а вместо 0,0000000000000000001 - 10^{– 19}.

Но если делать так, то, значит, можно и здесь воспользоваться самыми громадными делителями единицы, вплоть до того невероятного архимедова числа в сто шестьдесят биллионов километров длиной, о котором мы говорили в Схолии Десятой.

Слушай, Радикс! Скажи мне, пожалуйста: может быть,Архимед именно это и имел в виду, когда сочинял "Псаммит"? ..

– Весьма вероятно! И очень хорошо, что ты сам теперь это понял.

– Но если, - продолжал далее мальчик, - точность суммы неограниченно возрастает за счет увеличения числа цилиндров и утончения их, то ясно, что в пределе я и получу совершенно точно искомую величину!

– Так, - отвечал Коникос.
– Вот выходит, что "чем больше ошибок ты сделаешь, тем лучше окажется твой результат", ибо чем больше ошибок, тем каждая из них меньше. А отсюда ясно, что ты действительно имеешь возможность при вычислении объема конуса разбивать его на тончайшие слои и считать каждый слой цилиндром, пренебрегая теми крохотными колечками (они у нас останутся, если из каждого цилиндрика вычесть соответственный усеченный конусик), которые представляют собой бесконечно малые более высокого порядка.

А это уже величины такой малости, что по сравнению с ними бесконечно малые первого порядка, о которых мы до сих пор говорили, суть величины бесконечно большие.

– А все-таки есть одна вещь, которую мне очень трудно усвоить!
– вздохнул Илюша.
– Как это так можно чем-нибудь пренебрегать в математике?

Длина окружности не может быть больше периметра описанного многоугольника и меньше периметра вписанного. Однако если бесконечно удваивать число сторон многоугольников, то оба периметра будут приближаться к длине окружности, как к пределу.