ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Бобров Сергей Павлович

Вынь одну шашку... Ну, для памяти вынем ту, на которой стоит буква "ша". Потом перепутай шашки и проверь на буквах, как получается насчет правила "выйдет-не-выйдет". А коли заметишь какие-нибудь особенности, не поленись дать исчерпывающее объяснение. Да, кстати, вот еще что. Скажи, пожалуйста: известно ли тебе, что бывают уравнения со многими неизвестными?

– Ну еще бы!
– отвечал Илюша - Конечно, известно.

Так вот, представь себе, что Дразнилка

имеет довольно близкое касательство к решению систем уравнений со многими и даже весьма многими неизвестными.

– Да что ты?
– удивился мальчик.

– Дело в том, - продолжал Радикс, - что если тебе, допустим, придет в голову точно определить, как можно вывести общие формулы, определяющие значения неизвестных в зависимости от коэффициентов в уравнениях, то придется заняться тем же самым, чем мы сейчас с тобой забавлялись, а именно - подсчитать число инверсий. Если не струсишь, то советую проверить это. Давай напишем систему уравнений:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

и найдем, чему равняется у.

– Это что-то трудновато, - неопределенно заметил Илюша.

– Для простоты положим, что х и z уже известны и нам надо определить через них у. Ну-ка попробуй, что получится.

– 110 -

Илюша взял карандаш, задумался на минутку и написал следующее выражение для у:

y = (d₁– a₁x - c₁z) / b₁

– Очень мило! Ну, а еще чего-нибудь ты не придумаешь?

– Можно подставить это значение у в остальные два уравнения, тогда останутся неизвестными только х и z.

– Можно. А далее?

– А далее поступаю подобным же образом. Определю из одного из уравнений z и подставлю его в последнее оставшееся уравнение. Получу, очевидно, значение для х. А его можно подставить в предыдущую формулу для z и так далее.

Все определится очень просто. Только бы не запутаться во всех этих подстановках.

– Так, - закончил Радикс, - верно. Придется тебе еще подумать, кстати, о том, чтобы у этих твоих дробей, которые определяют неизвестные, знаменатели не обращались в нуль.

Но если оставить это пока в стороне, то формулы ты получишь верные. О них-то я и хотел тебе сказать несколько слов.

Займись-ка, выпиши, что получается окончательно в знаменателе дробей. Если ты нигде не напутал, то получится алгебраическая сумма произведений:

a₁b₂c₃; a₁b₃c₂; a₂b₁c₃; a₂b₃c₁; a₃b₁c₂; a₃b₂c₁;

А

что касается знаков перед ними, то они как раз тем и определяются, какое число инверсий, четное или нечетное, образуют числа "один", "два" и "три" в подписных значках у букв a, b и с, если мы будем писать эти три буквы каждый раз в их алфавитном порядке, как это у нас и сделано. Если при четном числе инверсий брать знак плюс, а при нечетном - минус, то получится алгебраическая сумма, которая называется определителем, или детерминантом, данной системы уравнений. Ты можешь еще заметить, что и числители дробей построены так же, только там вместо одной из букв а, b или с (в зависимости от того, какое ты неизвестное определяешь) поставлена буква d (для икса d заменяет букву а, для игрека - букву b, для зета - букву с). Если мы захотим определить знак перед каждым произведением, то для этого достаточно того, что мы вывели, когда разбирали маленького Дразнилку. А дальше дело пойдет, разумеется, похитрее. Мы еще вспомним нашего друга Дразнилку, когда будем разбирать одну довольно сложную задачу в Схолии Девятнадцатой.

– 111 -

– Теперь уже я буду относиться к Дразнилке посерьезнее. Вот какая он, оказывается, знатная персона!

– Кстати, - задумчиво произнес Радикс.
– Ты, кажется, уверял меня по поводу младшего Дразнилки, что из трех элементов можно образовать всего шесть комбинаций?

– Разумеется, - уверенно ответил Илюша.

– Как это мило! ..
– еще более задумчиво произнес его приятель.
– И ты уверен, что больше шести не может быть?

– Конечно, уверен!

– Так, значит, шесть! И все разные. Это очень важно.

Ровно шесть, говоришь ты?.. Это приводит мне на память один престранный случай. В архиве одного нотариуса города Толедо, в Испании, была обнаружена следующая запись, относящаяся к началу восемнадцатого столетия:

"После кончины достопочтенного дона Диего дель Кастильо в его доме было найдено завещание, согласно которому три драгоценных ларчика - бронзовый, серебряный и золотой - были оставлены трем его друзьям юности: дону Альваро, дону Бепито и дону Висенте, причем условие завещания гласило:

"Означенные предметы переходят во владение моих друзей по их выбору, который должен происходить в следующем порядке:

1)тот, кто видел меня в зеленом плаще, не может выбирать раньше дона Альваро;

2)если дон Висенте не был в Саламанке в тысяча шестьсот девяносто четвертом году, то, значит, тот, кто будет выбирать первым, никогда не давал мне своей табакерки;

3)дон Альваро и дон Бепито могут выбирать во вторую очередь только в том случае, если дон Бепито будет выбирать раньше того, кто первый стал носить шпагу..."

Когда вышеупомянутые лица, как того требует закон, были вызваны в суд, то они показали, что завещание это было составлено лет пятнадцать назад и поэтому сейчас никто из них не может вспомнить, о каком зеленом плаще идет речь, какое имела табакерка отношение к городу Саламанке, и так далее. Однако им известно, что в то давнишнее время дон Диего не раз говорил о том, что он имеет намерение оставить каждому из них хороший подарок. Тогда судья прочел им заключительные строки этого удивительного завещания, где говорилось: