Маркант
Шрифт:
Имея всего 256 байт памяти легко реализовать на них любую подстановку ? из S256. Для этого для любого x ? Z/256 в ячейку памяти по адресу x надо записать значение ?(x).
В алгебре под произведением подстановок понимают их последовательное применение слева направо.
Операцию сложения с переносом двух байт x и y тоже можно рассматривать как подстановку gx ? S256: gx(y) = (x + y)mod 256. Если через g обозначить полноцикловую подстановку g = g1 = (0,1,2,…,255), то, полагая, что g0 – это единичная подстановка, когда все элементы отображаются сами в себя, получаем, что при любом x ? Z/256 gx = gx .
Множество
Предположим, что у нас есть цепочка байт x1, x2,…xk и произвольная подстановка ? из S256. Что можно сказать о подстановках gx1? gx2?… gxk??
Одним из первых и очень важным результатом НИР «Проба» было доказательство, что при случайном и равновероятном выборе ? из S256 группа, порожденная множеством G?, с большой вероятностью совпадает со всей симметрической группой S256. Что это означало на практике?
Возьмем простейший типовой узел, реализованный с помощью побайтных преобразований.
Рис. 1. Типовой узел (G?)k
На вход узла подается входное слово – цепочка из k байт, каждый байт складывается по модулю 256 с результатом обработки предыдущих байт и заменяется по подстановке ?. Таким образом, этот узел работает циклами, в каждом цикле по k тактов. Если предположить, что цепочка X = x1,x2,..,xk из k байт является ключом, то с помощью этого узла можно реализовать подстановку ?1 = gx1? gx2?… gxk?, зависящую от ключа X. Результаты НИР «Проба» показывают, что таким путем можно реализовать практически любую подстановку из S256.
Здесь хотелось бы обратить внимание на то, что группа <G?> будет совпадать с S256 не при любой ?. Например, если ? ? G, то это заведомо не так. Но вероятность получить «плохую» подстановку ? при ее случайном и равновероятном выборе из S256 крайне мала.
А теперь давайте вернемся ко второй мировой войне и немецкому дисковому шифратору «Энигма». В нем было два типа ключей: долговременные и одноразовые. Долговременные ключи – это коммутации вращающихся роторов, а одноразовые – их начальное положение. Если коммутации вращающихся роторов неизвестны, то в этом случае криптографы бессильны. Коммутации роторов – это фактически подстановки на множестве букв немецкого алфавита. Число всевозможных подстановок в симметрической группе SN равно N! – N факториал, произведение всех чисел от 1 до N. При N = 26 имеем N! = 403 291 461 126 605 635 584 000 000 ? 4 * 1026. Если предположить, что в «Энигме» коммутации роторов выбирались случайно и равновероятно, то для перебора всевозможных значений коммутации только одного ротора потребовалась бы трудоемкость, непосильная даже для современных ЭВМ. Поэтому англичане могли читать «Энигму» только при условии, что какими-то путями им удалось захватить хотя бы один ее экземпляр и определить коммутации всех роторов.
Роторы в «Энигме» нельзя было сделать одноразовыми ключами по объективным причинам – это слишком сложно. А в НИР «Проба» показали, что в шифрах на новой элементной базе это сделать несложно.
Итак, неограниченно увеличивая k – длину входного слова, с помощью цепочек gx1? gx2?… gxk?
Во многих криптографических задачах важную роль играет свойство 2-транзитивности некоторого множества подстановок. Множество подстановок (G?)k является 2-транзитивным, если для любых двух пар (x1,y1) и (x2,y2), таких что x1 ? y1 и x2 ? y2, найдется подстановка, переводящая пару (x1,y1) в (x2,y2).
В НИР «Проба» получили следующие результаты.
Минимальное значение k, при котором (G?)k является 2-транзитивным, равно 3.
При случайном и равновероятном выборе ? из S256 с вероятностью, близкой к 1, множество (G?)3 будет 2-транзитивным.
Для любой подстановки ? из S256 можно определить ее так называемую матрицу частот P(?) размера 255 х 255, у которой на пересечении строки с номером i со столбцом с номером j, i,j ? {1,2,…,255}, находится число решений системы
x – y = i (mod 256)
?(x) – ?(y) = j (mod 256)
относительно неизвестных x, y ? Z/256.
В НИР «Проба» показали, что множество (G?)3 является 2-транзитивным тогда и только тогда, когда возведенная в квадрат матрица P(?) не содержит нулевых элементов. Чуть позже было доказано, что при случайном и равновероятном выборе ? в матрице P(?) примерно 2/3 элементов – ненулевые, 1/3 – нули.
Темой моей дипломной работы в 1979 году было построение и анализ матриц P(?) для всех ? из симметрической группы S8. Это 8! = 40320 подстановок. Такое построение позволяло подтвердить приведенные выше теоретические результаты.
Для Руты – 110, если она к тому времени была еще жива (сейчас точно не помню), это явно непосильная задача, матрицы строились вручную. Все теоретические результаты были подтверждены.
Ангстрем – 3
После изучения в НИР «Проба» математического аппарата для шифров на новой элементной базе естественно встал вопрос о построении простейшего примера такого шифра.
Здесь мне хотелось бы сказать несколько слов о том, кто тогда, на рубеже 80-х годов прошлого века, занимался в СССР криптографией и шифрами.
Специалистов-криптографов готовили только на 4 факультете ВКШ. Их отбирали и направляли на учебу 3 ведомства: КГБ, Министерство обороны и НИИ Автоматики. После окончания 4 факультета выпускники направлялись на службу в то ведомство, которое их набирало на учебу. Выпускники от КГБ и МО становились действующими офицерами, хотя военную форму в КГБ не носили, а выпускники от НИИ Автоматики – офицерами запаса, не получающими льгот и выплат, положенных действующим офицерам, хотя во время учебы на 4 факультете были военнослужащими и ходили в военной форме. В прошлом НИИ Автоматики – спецтюрьма № 16 МВД СССР, в 1948 году преобразована в спецтюрьму № 1 МГБ СССР, эта спецтюрьма известна по роману А.И.Соженицына «В круге первом».
Разработкой новых советских шифров должно было заниматься НИИ Автоматики, а Спецуправление 8 ГУ КГБ СССР – проводить их экспертизу. В реальной жизни разработка и экспертиза тесно переплетались и превращались в совместную работу криптографов, закончивших 4 факультет.
После окончания 4 факультета в 1979 году я попал на работу в 5 (Теоретический) отдел Спецуправления 8 ГУ КГБ СССР. Там тогда тоже интересовались шифрами на новой элементной базе, поддерживали тесные связи с НИИ Автоматики. В группе Валерия Владимировича Ященко, в которую я попал, вели следующий, если так можно выразиться, «анализ идеи» построения шифра на новой элементной базе с помощью неавтономного регулярного регистра сдвига над Z/256, которую принесли в 5 отдел Владимир Владимирович Седов и Борис Владимирович Березин из НИИ Автоматики.