Лестница Шильда

Иган Грег

lb(S) = (²/4)⁴€ + ^{2 3} S₁ ,

где S₁ — солитонный член, отвечающий самораспространяющимся решениям типа уединенных устойчивых волн, а € — разность плотностей энергии локального и глобального минимумов некоторого потенциала скалярного поля V(Ф). Чтобы действие туннелирования

оставалось конечным, примем V(Ф_false) = 0.

Минимизация действия Коулмена-де Люччия относительно = R₀ = 3S₁/€

(здесь R₀ — радиус нуклеации исходного зародыша) дает:

(S) = 27²S₁^{– 1}

Этот результат отражает туннелирование через очень тонкую доменную стенку (во вселенной «Лестницы Шильда» такое условие выполняется, поскольку толщина Барьера составляет несколько l_pl).

Для сравнения, в пространстве-времени де Ситтера получается значительно более сложное решение, зависящее от темпов расширения вселенной:

(S) = ²€ / 3H⁴ x (1 — V1+R₀²H²)² / V1+R₀²H²

Но легко заметить, что решение Коулмена-де Люччия получается из деситтеровского в пределе H -> 0. Если же € -> 0, возникают два параллельных (не в эвереттовском, а в геометрическом смысле!) мира, разделенных тонкой доменной стенкой, и (S) = ² / H³

Применяя аналитическое продолжение уравнений движения Коулмена-де Люччия во время Минковского, заключаем, что пузырь истинного вакуума должен расширяться на скорости света, начиная от радиуса нуклеации исходного зародыша:

R(t) = VR₀² + t².

Нововакуум Игана расширяется на скорости только в 0,5с, что немало удивляет героев романа, однако выступает счастливым обстоятельством для человечества. Только Софус, применив новаторский подход, оказался способен объяснить такое значение скорости расширения Барьера.

Но продолжим анализ, ограничиваясь рамками современной физики. Рассмотрим случай вселенной Фридмана-Робертсона-Уолкера с элементом метрики

ds² = a² (y)(dy² — dx² — f²(x)d²)

Эффективное действие для динамики скалярного поля после аналитического продолжения принимает вид:

S_x,FRW = INTdy(4€a⁴(y) INT₀^x(y)dx^ff²(x') — 4a³(y)f²(x) V1 — x²(y)).

Здесь —

поверхностное натяжение пузыря, в которое предельным переходом преобразуется солитонный член действия S₁. Конформное время определено координатой y. Для плоской, замкнутой и открытой вселенных функция f равна х, sin(x), sinh(x) соответственно. Координата пузыря дается безразмерной функцией x(y), а х — производная ее по у.

Уравнения движения, выводимые из S_x,FRW  сильно нелинейны по х(у), поэтому поиск аналитических решений при заданном a(y) представляется безнадежной задачей. Придется решить обратную задачу: по известному х(у) искать форму функции а(у).

В иллюстративных целях рассмотрим сравнительно простой случай.

Принимая, что V1 — x²(y) = g(y)x, и выбирая g(y) так, чтобы g(y) = tan(y), получаем, что радиус пузыря x(y) = sin(y).

решение удается выразить аналитически:

a(y) = R₀|cot(y)|^1/3/ 3|cot(y)|^1/3F₂₁(1/6,1/6,7/6,cos²(y)) + C.

Здесь F₂₁– гипергеометрическая функция, а C > 0.

Если С = О, пузырь расширяется только в том случае, когда а(О) равно бесконечности, и коллапсирует при y = . Если же С > О, радиус пузыря истинного вакуума и масштабный фактор а (у) возрастают от 0 для y >/2.

В этом случае новорожденная Та Сторона расширяется до некоторого максимального радиуса и затем исчезает при у =  (при этом масштабный фактор уходит в сингулярность). Существует и альтернативная ветвь, на которой радиус новой вселенной при a(0), равном бесконечности начинает возрастать от 0, проходит через максимальное значение и коллапсирует в 0 при у = /2. Это значит, что история нововакуума может быть циклической, причем его расширение не требует туннелирования.