ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Бобров Сергей Павлович

Таким образом, Архимед на очень несложном и очень ярком примере показал, что человеческая способность последовательно строить числа легко справляется с величинами, для которых трудно подобрать пример, который что-нибудь говорил бы нашим чувствам. Заметь, что Архимед нигде не определяет точно своих чисел. Он ограничивается тем, что указывает только на то, что искомое число не может превышать некоторой определенной величины. Таким образом, он нам указывает на то, что называется порядком величины. Мне кажется, да ты и сам можешь легко догадаться (уже не маленький!), что большего в таком рассуждении и не надо.

– 174 -

– Да, уж действительно!
– промолвил Илюша.
– Я раньше думал, что это ужасно большое число, знаешь, вот в этой задаче, где надо сосчитать, сколько зерен будет лежать на шахматной доске

в шестьдесят четыре квадрата, если на первый квадрат положить одно зернышко пшеницы и на каждую следующую клетку класть в два раза больше. Но там совсем не так много получается.

– Да. Для обыкновенной шахматной доски получается число порядка десятков квинтильонов. Если взять стоклеточную доску, на которой играют в так называемые "польские шашки", то тогда число зерен доберется до нонильонов. А если взять доску еще побольше, у которой не десять полей с каждой стороны, а четырнадцать, и всего будет сто девяносто шесть полей, то вот тогда мы как-нибудь уж доползем до сотен септильонов децильонов.

– Как скоро все-таки растет!
– воскликнул Илюша.

– Да, - отвечал Радикс, - растет недурно. Что же касается Архимеда, то он останавливается на числе, которое можно записать так:

10^8•1016

и которое представляет собой единицу с восьмьюдесятью квадриллионами нулей. Если это число написать на бумажной ленте, умещая по пятисот нулей на одном метре, то есть писать очень мелко и убористо, то на одном километре ленты мы напишем пятьсот тысяч нулей и на двух километрах один миллион. А так как нулей восемьдесят квадриллионов, или восемьдесят биллионов миллионов, то ленточка наша будет длиной в сто шестьдесят биллионов километров! Ленточка не маленькая: она в четыре с лишним раза длиннее орбиты, по которой несется планета Плутон. Свет, как ты знаешь, двигается довольно быстро. Однако все-таки, если бы на одном конце нашей ленточки мелькнула яркая звезда, на другом конце ее увидали бы не сразу, а только через шесть суток.

Но ведь это еще только изображение архимедова числа, а не само число!

– Удивительно!
– сказал Илюша.

– Работы Архимеда были удивительны не только для тебя, но и для людей недюжинных способностей и великих знаний.

– 175 -

– ---------------

Первые архимедовы числа.

Единицы ...... 10°

Тысячи ...... 10³

Миллионы ..... 10⁶

– ---------------

10⁸– вторые архимедовы числа (мириады мириад).

– ---------------

Биллионы ..... 10⁹

Триллионы ..... 10¹²

Квадриллионы .... 10¹⁵

– ---------------

10¹⁶– третьи архимедовы числа.

– ---------------

Квинтильоны .... 10¹⁸ *

Секстильоны .... 10²¹

Септильоны .... 10²⁴

– ---------------

10²⁴– четвертые архимедовы числа.

– ---------------

Октильоны .... 10²⁷

Нонильоны .... 10³⁰ **

Децильоны .... 10³³

– ---------------

10³²– пятые архимедовы числа.

– ---------------

Тысячи децильонов ..... 10³⁶

Миллионы децильонов .... 10³⁹

Биллионы децильонов .... 10⁴²

– ---------------

10⁴⁰– шестые архимедовы числа.

– ---------------

Триллионы децильонов . . . 10⁴³

Квадрильоны децильонов . . 10⁴⁸

Квинтильоны децильонов , . 10⁵¹

– ---------------

10⁴⁸– седьмые архимедовы числа.

– ---------------

Секстильоны децильонов . . 10⁵⁴

Септильоны децильонов . . . 10⁵⁷

Октильоны децильонов . . . 10⁶⁰ ***

– ---------------

10⁵⁶–

восьмые архимедовы числа.

– ---------------

Нонильоны децильонов . . . 10⁶³

Децильоны децильонов . , . 10⁶⁶

– ---------------

10⁶⁴– девятые архимедовы числа.

– ---------------

* Здесь стоит число, равное сумме зерен пшеницы на шахматной доске в шестьдесят четыре клетки. Примерно оно равно 10¹⁹ • 1,8447.

** Здесь стоит число, равное сумме зерен на шахматной доске в сто клеток. Примерно оно равно 10³⁰– 1,2677.

*** Здесь стоит число, равное сумме зерен на шахматной доске в сто девяносто шесть клеток. Примерно оно равно 10⁵⁹ • 1,0039.

Древний историк Плутарх так говорил об Архимеде: "Во всей геометрии нет теорем более трудных и более глубоких, нежели теоремы Архимеда. Мне самому всегда казалось, когда я впервые знакомился с его математическими предложениями, что они до того трудны, что ум человеческий не в состоянии найти им доказательства. Однако когда узнаешь, как сам Архимед их доказывает, то тебе кажется, будто ты сам нашел это доказательство - до того оно просто и легко".

– 176 -

– Ты знаешь, я иногда сам что-то в этом роде чувствовал! .. Только не но отношению к Архимеду, а вообще по отношению к математике. Я очень хорошо понимаю, что хочет сказать этот древний историк!

– Так оно и должно быть, - с улыбкой ответил Радикс.
– Ты испытываешь это светлое чувство радостного удивления перед могуществом человеческого разума, когда встречаешься с элементарными положениями, а люди, более тебя начитанные, испытывают то же, когда видят более сложные построения. Это вполне естественно. Один из самых крупных математиков семнадцатого века, Лейбниц, который очень много сделал для развития высшей математики, так сказал об Архимеде: "Когда внимательно разбираешься в творениях Архимеда, то постепенно перестаешь удивляться новейшим открытиям современных геометров". Два других великих математика - французы Лагранж и Даламбер - в восемнадцатом веке тоже немало потрудились над созданием высших разделов математики. Они писали об Архимеде: "Ни один из геометров древности не сделал таких многочисленных и важных открытий. Поэтому какими бы важными преимуществами ни обладали новые методы и как бы это ни было общеизвестно, тем не менее каждый математик должен поинтересоваться, какими тонкими и глубокими размышлениями Архимед сумел достигнуть таких сложных результатов". А замечательный английский математик Валлис, современник Ньютона, даже называл его "человеком сверхъестественной проницательности". Да и в гораздо более раннее время, когда ни Лейбница, ни Валлиса, ни Даламбера с Лагранжем не было еще на свете, крупнейшие ученые, которые впервые начали снова двигать вперед математику после долголетнего застоя, такие люди, как, например, Иоганн Кеплер (шестнадцатый-семнадцатый века), прямо говорили, что они пытаются продолжать дело Архимеда, а Бонавентура Кавальери (современник Кеплера и ученик Галилея) с гордостью утверждал, что ему удалось проникнуть в тайны того аналитического метода, которым Архимед пробивался через самые неприступные проблемы. Вот какой это был замечательный человек! Кавальери гордился тем, что сумел восстановить его методы. Мы еще поговорим с тобой об этом замечательном ученом. Ньютон однажды сказал, что он совершил свои открытия, так как "стоял на плечах гигантов". Кто же эти гиганты?

Это раньше всех Кеплер и Галилей.

– Да!
– отвечал в почтительной задумчивости мальчик.
– Только ведь это сочинение Архимеда о счете песка никаких особенных задач не решает. Правда?

– Ошибаешься!
– отвечал Радикс.
– Это сочинение имеет необыкновенно важное значение, и даже гораздо более важное, нежели решение какой-либо частной проблемы. Оно ставит такие серьезные вопросы, которых никто еще до Архимеда на практике не решался касаться; если же и касался, то, так сказать, несознательно, не представляя себе всей важности этой задачи. Она, в частности, заключается в доказательстве положения, утверждающего, что ум человеческий способен легко строить числа, превышающие любую заранее заданную величину.