Приборостроение

Бабаев Маариф Арзулла

Различают события противоположные: если некоторое событие Д может произойти при непоявлении события А, то события А и Д являются противоположными. Если сложить их вероятности P_А и P_д, то P_А + P_д = 1,

то есть в любом случае произойдет событие А или событие Д.

Событие называется независимым, если его появление не зависит от появления любого другого события. Иначе событие называется зависимым.

4. Условная и полная вероятности

Условная вероятность – такая вероятность события А, которая вычислена

при предположении, что событие Д произошло: при этом события А и В являются зависимыми, они обозначаются как Р(А /В) или Р(А)В.

Совместное (одновременное или последовательное) появление нескольких независимых событий А, В, С, Fназывается сложным событием. Вероятность сложного события определяется путем умножения вероятностей составляющих его событий.

Р (АиВиСи…иF)= Р(А) x Р(В)_А x Р (С_АВ) x… x Р(F)_АВС.

В случае независимости событий (8) выглядит следующим образом.

Р (АиВиСи…иF)= Р (А) x Р (В) x Р (С) x … x Р (f).

Формула, которую привели выше, справедлива, если события А или В или С несовместимы. В случае их совместимости формула выглядит следующим образом:

Р(А В С)=Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АиВиС).

Р (АиВиС)= Р (А) x Р(В) x Р (С)

С учетом этого получим

Р (А В С)=Р (А) + Р (В) + Р (С) – Р (А) x Р (В) x Р (С).

Теперь, после некоторого ознакомления с арифметическими операциями над вероятностями, можно привести формулу полной вероятности

В формуле предполагается, что событие А может произойти только с одним из n несовместимых событий B₁….,B_n, то есть группа событий А и B₁, или А и B₂ и т. д. Любая группа из этого ряда равносильна появлению события А.

Пример 2. Пусть события D, Е, F независимые. Какова будет вероятность событий трех извлечений подряд небракованных деталей при условии, что выборка повторная.

Решение. При данном условии после извлечения каждый раз бракованной детали, а больше одной детали нельзя извлечь, количество бракованных деталей с каждым разом уменьшается на единицу. В третий раз будет извлечена последняя бракованная деталь.

5. Распределение случайных величин

Затрагивая вопрос о вероятности некоторого события, нельзя не говорить о закономерностях появления случайных величин.

Чтобы упростить ситуацию, эти величины делят на:

1) прерывные (дискретные) – например, количество некоторой продукции, не отвечающее установленным стандартам;

2) непрерывные – например, единицы той же продукции, которые имеют неодинаковые параметры, но эти параметры находятся в пределах границ предельно допустимого.

Зависимость между возможными значениями случайных величин и их вероятностями, выраженными конкретным способом, называется законом распределения случайных величин.

Для того, чтобы установить математическую форму этого закона, предположим, что дискретная случайная величина х может принимать значения х₁, x₂, x₃…, х_i…., x_k, и пусть каждому из этих значений соответствует вероятность P_x. Тогда ряд вероятностей, соответствующих

значениям случайной величины х, будет иметь следующий вид P_x,P_x1,P_x2,…,P_xi,…,P_xk.

Очевидно, что вероятность P_x является некоторой функцией от переменной х и имеет вид: P_x = f(х), где x = x_i, i = 1, 2…, k.

Рассмотрим поведение этой функции для вышеприведенных двух видов случайных величин.

1. Случайная величина – дискретная (прерывная).

Случайная величина х < х', где х < х' задано, может выражаться следующим образом:

Функция F(х)=F(х') называется функцией распределения случайной прерывной величины ч. 2. Случайная величина – непрерывна. Плотностью вероятности P_x в точке X = х называется предел вида

Следовательно, функцию F(х') можно дифференцировать, тогда

F (х)=f (х)

Основные свойства функции распределения следующие:

1) х = ;F= 1;

2) х = —;F = 0;

3) если аргумент x возрастает, т. е. если рассмотреть случай х₂ > х₁, то F(x₂) > F(x₁).

Если рассмотреть F(х)=F(х₂)-F (х₁) то

6. Статистика распределения случайных величин

Основные характеристики случайных величин.

1. Меры положения.

Таковыми называют (считают) точки, вокруг которых происходит колебание характеристики величин.

Сумма произведений эмпирических значений случайной величены x_i на соответствующие частности называется выборочным средним 

 – это статистическая характеристика, соответствующая параметрам, т. е. теоретическому анализу, называемая средним значением случайной величины или математическим ожиданием случайной величины.

Математическое ожидание обозначается как 

или м.о.(х), и определяется по уже известному теоретическому распределению.

При прерывности случайной величины

где p(x) – функция, которая определяет вероятности p(x) для всех x_i случайной величины. При непрерывности случайной величины